Können Sie das klassische Spiel der Lions und Lämmer lösen?

Können Sie das klassische Spiel der Lions und Lämmer lösen?

Wie viele Löwen braucht man, um ein Lamm zu töten? Die Antwort ist nicht so einfach wie Sie vielleicht denken. Zumindest nicht nach der Spieltheorie.

Spieltheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Entscheidungsfindung studiert und vorhersagt. Es beinhaltet oft hypothetische Szenarien oder "Spiele", wobei eine Anzahl von Individuen, die "Spieler" oder "Agenten" genannt werden, aus einer definierten Menge von Aktionen gemäß einer Reihe von Regeln auswählen können. Jede Aktion hat einen "Pay-off" und das Ziel ist normalerweise, die maximale Auszahlung für jeden Spieler zu finden, um herauszufinden, wie sie sich wahrscheinlich verhalten würden.

Diese Methode wurde in einer großen Vielzahl von Themen verwendet, einschließlich Wirtschaft, Biologie, Politik und Psychologieund dazu beitragen, das Verhalten bei Auktionen, Abstimmungen und Marktkonkurrenz zu erklären. Aber die Spieltheorie hat dank ihrer Natur auch einige unterhaltsame Denksportaufgaben hervorgebracht.

Eines der weniger bekannten Rätsel besteht darin, herauszufinden, wie die Spieler um Ressourcen konkurrieren, in diesem Fall hungrige Löwen und ein leckeres Lamm. Eine Gruppe von Löwen lebt auf einer mit Gras bedeckten Insel, aber ohne andere Tiere. Die Löwen sind identisch, vollkommen rational und bewusst, dass alle anderen vernünftig sind. Sie sind sich auch bewusst, dass all die anderen Löwen wissen, dass alle anderen rational sind, und so weiter. Dieses gegenseitige Bewusstsein wird als "Allgemeinwissen". Es stellt sicher, dass kein Löwe eine Chance wahrnimmt oder versucht, die anderen auszutricksen.

Natürlich sind die Löwen extrem hungrig, aber sie versuchen nicht, sich gegenseitig zu bekämpfen, weil sie körperlich identisch sind und somit unweigerlich alle tot sind. Da sie alle vollkommen rational sind, zieht jeder Löwe ein hungriges Leben einem sicheren Tod vor. Ohne Alternative können sie überleben, indem sie eine im Wesentlichen unbegrenzte Menge an Gras essen, aber alle würden es vorziehen, etwas Fleischigeres zu konsumieren.

Eines Tages erscheint auf der Insel ein Lamm wie durch ein Wunder. Was für eine unglückliche Kreatur es scheint. Aber es hat tatsächlich eine Chance, diese Hölle zu überleben, abhängig von der Anzahl der Löwen (dargestellt durch den Buchstaben N). Wenn ein Löwe das wehrlose Lamm verzehrt, wird es zu voll, um sich gegen die anderen Löwen zu verteidigen.

Unter der Annahme, dass die Löwen nicht teilen können, besteht die Herausforderung darin herauszufinden, ob das Lamm je nach dem Wert von N überleben wird. Oder, um es anders auszudrücken, was ist der beste Weg für jeden Löwen - das Lamm zu essen oder nicht das Lamm essen - je nachdem wie viele andere es in der Gruppe gibt.

Die Lösung

Diese Art von Spieltheorieproblem, wo Sie eine Lösung für einen allgemeinen Wert von N finden müssen (wobei N eine positive ganze Zahl ist), ist ein guter Weg, die Logik der Spieltheoretiker zu testen und zu demonstrieren, wie die Rückwärtsinduktion funktioniert. Logische Induktion beinhaltet die Verwendung von Beweisen, um eine Schlussfolgerung zu bilden, die wahrscheinlich wahr ist. Rückwirkende Induktion ist eine Möglichkeit, eine klar definierte Antwort auf ein Problem zu finden, indem man Schritt für Schritt in den sehr einfachen Fall zurückgeht, der durch ein einfaches logisches Argument gelöst werden kann.


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Im Löwenspiel wäre der Grundfall N = 1. Wenn es nur einen hungrigen Löwen auf der Insel gäbe, würde er nicht zögern, das Lamm zu essen, da es keine anderen Löwen gibt, die damit konkurrieren könnten.

Jetzt sehen wir, was im Fall von N = 2 passiert. Beide Löwen folgern, dass wenn einer von ihnen das Lamm isst und zu voll wird, um sich zu verteidigen, würde es von dem anderen Löwen gegessen werden. Infolgedessen würde keiner der beiden versuchen, das Lamm zu essen, und alle drei Tiere würden glücklich zusammenleben und Gras auf der Insel essen (wenn ein Leben, das allein von der Vernunft zweier hungriger Löwen abhängt, glücklich genannt werden kann).

Für N = 3 würde, wenn einer der Löwen das Lamm frisst (was effektiv zu einem wehrlosen Lamm wird), das Spiel auf dasselbe Szenario wie für N = 2 reduziert werden, in dem keiner der verbleibenden Löwen versuchen wird, das Lamm zu konsumieren neu wehrloser Löwe. Der Löwe, der dem Lamm am nächsten steht, isst es und drei Löwen bleiben auf der Insel, ohne sich gegenseitig zu ermorden.

Und für N = 4, wenn einer der Löwen das Lamm essen würde, würde es das Spiel auf das N = 3-Szenario reduzieren, was bedeuten würde, dass der Löwe, der das Lamm aß, am Ende selbst gegessen würde. Da keiner der Löwen das will, lassen sie das Lamm in Ruhe.

Das GesprächIm Wesentlichen wird das Ergebnis des Spiels durch die Handlung des Löwen entschieden, der dem Lamm am nächsten ist. Für jede ganze Zahl N erkennt der Löwe, dass das Essen des Lammes das Spiel auf den Fall von N-1 reduzieren würde. Wenn der N-1-Fall zum Überleben des Lammes führt, frisst der nächste Löwe es. Ansonsten lassen alle Löwen das Lamm leben. Wenn wir also die Logik jedes Mal zum Basisfall zurückverfolgen, können wir daraus schließen, dass das Lamm immer dann gegessen wird, wenn N eine ungerade Zahl ist und es überleben wird, wenn N eine gerade Zahl ist.

Über den Autor

Amirlan Seksenbayev, Doktorand in Mathematischen Wissenschaften, Wahrscheinlichkeit und Anwendungen, Queen Mary University of London

Dieser Artikel wurde ursprünglich veröffentlicht am Das Gespräch.. Lies das Original Artikel.

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